十进制运算

加法🌙

• 当有进位时，就对整个二进制表示加 0110；这相当于16进制和10进制的转换需要✔️

减法

• emmm！对于减法的实现，我们很容易会和二进制补码联系起来，就是重复利用已经实现好的加法器进行运算​​

• $N_{1} - N_{2} = N_{1} + (10 ^{n} - N_{2})$

• 因为我们使用NBCD码进行减法运算时，它是将每4位当作一个块，计算数字后乘以10的底来运算的

• $N_{1} - N_{2} = [10^{n} - (10^n - N_{1} + N_{2})]$

• 修正后步骤即为：

  • $N_{1} - N_{2}$; 现对$N_{1}$对照着表格进行转换(其实就是9 - X),记转换后的为$N^{'}$
  • 然后对$N^{'}$与$N_{2}$进行上面的加法（复用）
  • 考虑加法结果的进位
    • 进位为0：直接进行转换即为结果
    • 进位为1：直接在低位+1，然后取负即为结果

  😆简单证明：

  NBCD减法算法的简单证明✔️:

  • 给定$N_{1}, N_{2}$; 假设它们用$4n$位01串表示的NBCD码，均为整数，不带符号，因为有符号的数计算同理。
  • 计算$Ans = N1 - N2$； $N_{1} = (a_{n,4}…a_{n,1})…(a_{1,4}…a_{1,1}); N_{2} = (b_{n,4}…b_{n,1})…(b_{1,4}…b_{1,1})$
  • 算法步骤为：
    1. 按照转换表，对$N_{1}$的从左开始，每四位做一次转换（1001 - 4bits）得$N^{‘}{1} = (a^{{'}_{n,4}…a}{'}{n,1})…(a^{{'}_{1,4}…a}{’}{1,1})$；其中$N^{'}{1} = 9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + … + 9 \times 10^{0} - N_{1} = 1 \times 10^{n} - N_{1} - 1$
    2. 复用NBCD码得加法得$N_{3} = N^{'}{1} + N{2} = 1 \times 10^{n} - N_{1} - 1 + N_{2}$（以通过NBCD码加法进位得修正）
    3. 看$N_{3}$是否有进位：
       • 如果$N_{3}$没有进位，则说明$10^{n} - N_{1} - 1 + N_{2} < 10^{n}$； 即$N_{1} - N_{2} > 1$；所以直接对$N_{3}$做一次上述转换得$N^{'}{3}$; 有$N^{'}{3} = 10^{n} - N_{3} - 1 = 10^{n} - (10^{n} - N_{1} - 1 +N_{2}) = N_{1} - N_{2}$即为结果。
       • 如果$N_{3}$有进位，即$10^{n} - N_{1} - 1 + N_{2} \geq 10^{n}$；即有$N_{2} - N_{1} \geq 1$；即$N_{3} = 10^{n} + N_{2} - N_{1} - 1 $；即进位表示$10^{n}$, 而$N_{3}$为$N_{2} - N_{1} - 1$; 为此，我们只要对$N_{3}$在低位加上“0001”，然后取负即为结果。

  ✔️简单的例子

  eg: 309 - 125
  0011 0000 1001 （309）-
  0001 0010 0101 （125）

  0110 1001 0000 （进行一次转换）+
  0001 0010 0101 ->
  0111 1011 0101

  0111 1011 0101 （对1011修正）+
  0000 0110 0000 ->
  1000 0001 0101 进位为0， 直接转换即为结果 ->
  0001 1000 0100 (184)

  eg: 125 - 309
  0001 0010 0101 (125) -
  0011 0000 1001 (309)

  1000 0111 0100 (进行了一次转换) +
  0011 0000 1001 ->
  1011 0111 1101

  1011 0111 1101 （对1011、1101进行修正) +
  0110 0000 0110 ->
  1 0001 1000 0011 (进位为1，在此基础上+1后取负) ->

  0001 1000 0100 （-184）